群論の基礎

今週はなぜか群論の基礎。
パズルなどの仕組みを考えるのに群論は有用で復習する。
[群の定義]
・演算が集合に閉じている。
・演算に結合則が成り立つ。
・単位元の存在。
・逆元の存在。
部分群は、群の中で群をなす部分集合、位数とは群の元の数。

Xを群が作用できる集合、g∈G が群とすると、

[xによるG-軌道]
= {gx | ∀g∈G , ∃x∈X}
[x0に対する固定部分群]
= {g | x0 =gx0 ,∀g∈G , ∃x∈X}
[共役類]
x=gyg^-1 {∃g∈G , ∃x,y ∈X }
x ~ y とする類別が g の共役類
[中心化群]
= {g | g=ag a^-1 , ∃a,∀g∈G}
[共役部分群(Hとgを与える)]
= {gHg^-1 | ∃g∈G , ∃H⊂G }
[正規部分群]
= { H｜ｇH g^-1 = H , ∀g∈G , ∃H⊂G }

何が何やらですな。